还原问题

　　从问题的最后结果出发，运用加与减、乘与除的互逆关系，一步一步进行逆推，即遇加用减，遇减用加，遇乘用除，遇除用乘，最后求出问题的解，这种解题的方法通常叫做还原法，或逆推法，这类应用题通常叫做还原问题．

例1 某数加上2，乘以5，除以11，再减去8，结果是1，求这个数．

分析：采用还原法思考，题中最后的结果是1，1是一个数减去8得到的，在没减去8之前的数是8+1=9，9又是一个数除以11得到的，在没除以11之前的数是9×11=99，而99又是一个数乘以5得到的，在没乘以5之前的数是99÷5=19.8，19.8就是某数加上2得到的，因此在没加2之前这个数为19.8-2=17.8．

解（1）没减去8之前的数

　　8+1=9

　　（2）没除以11之前的数

　　9×11=99

　　（3）没乘以5之前的数

　　99÷5=19.8

　　（4）没加上2之前，某数

　　19.8-2=17.8

　　综合算式

　　（1+8）×11÷5-2=17.8答：这个数是17.8．

例2 有一箱图书，小红拿走了一半多1本，小丽拿走剩下的一半多2本，小强拿走再剩下的一半多3本，箱里还剩2本，问这箱图书共有多少本？

分析：我们先根据题意，画一个线段图（如图4—1）．

　　借助这个图可以启发我们采用逆推法找出解答.

解（1）再剩下的一半是

　　3+2=5（本）

　　（2）再剩下的是

　　5×2=10（本）

　　（3）剩下的一半是

　　10+2=12（本）

　　（4）剩下的是

　　12×2=24（本）

　　（5）全部的一半是

　　24+1=25（本）

　　（6）全部的图书是

　　25×2=50（本）

　　综合算式

　　｛［（3+2）×2+2］×2+1｝×2=50（本）

　　验算

　　小红拿走本数 50÷2+1=26（本）

　　小丽拿走本数 （50-26）÷2+2=14（本）

　　小强拿走本数 （50-26-14）÷2+3=8（本）

　　箱里还剩本数 50-26-14-8=2（本）

　　与题目条件相符，说明计算结果正确．

　　答：这箱图书共有50本

例3 粮店库存面粉若干袋，第一天卖出库存的一半多4袋，第二天卖出剩下的一半少3袋，第三天运进30袋，这时粮店里共有面粉50袋，求粮店里原有面粉多少袋？

分析：仍然先根据题意画线段图（如图4—2）．

　　根据上面的图，可以看出题中的数量关系，由逆推法找出问题的解．

解：（1）第二天卖出后剩下的是

　　50-30=20（袋）

　　（2）第一天卖出后剩下的一半是

　　20-3=17（袋）

　　（3）第一天卖出后剩下的是

　　17×2=34（袋）

　　（4）全部的一半是

　　34+4=38（袋）

　　（5）原有面粉是

　　38×2=76（袋）

　　综合算式

　　[（50-30-3）×2+4]×2=76（袋）

　　验算

　　第一天卖出 76÷2+4=42（袋）

　　第二天卖出 （76-42）÷2-3=14（袋）

　　第三天运进30袋后，粮店面粉是

　　76-42-14+30=50（袋）

　　与题目条件相符，说明解答正确．

　　答：粮店里原有面粉76袋．

　　说明：在解题时，验算过程可以在草稿纸上进行．

例4 甲、乙、丙、丁四人有不同数目的玻璃球，甲拿出若干个玻璃球给乙、丙，使得他俩的玻璃球的数目增加了一倍；然后乙拿出若干个玻璃球给丙、丁，使他俩的玻璃球数目增加了一倍；丙也拿出若干个玻璃球给丁、甲，使他俩的玻璃球数目增加了一倍；最后丁也拿出若干个玻璃球给甲、乙，使他俩的玻璃球数目也增加了一倍，这时他们四人手中的玻璃球的数目均为16个，问甲、乙、丙、丁四人原有玻璃球各多少个？

分析：我们仍采用逆推法，从最后一步倒着想，丁给甲、乙一部分玻璃球后，才使甲、乙的玻璃球增加一倍，变为16个，因此，在丁没给甲、乙前，甲、乙各应有8个，他俩每人还给丁8个，这时丁有16+ 8+ 8= 32个．其余可按上述方法类推，就可得出甲、乙、丙、丁四人原有的玻璃球数目．这里要注意的是，四人手中的玻璃球的总数目是一个不变的量，并且每次重新变化后，这个总数目仍然不变．

解：逆推的过程如图4—3所示：

　　图4—3

　　答：甲、乙丙、丁原有玻璃球数目分别为30、17、9、8个．