勾股定理的应用练习题及答案

1、在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝15，AC＝17，以AB为直径作半圆，则此半圆的面积为__________
2、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为__________．
3、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要         __________元．

4、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m．同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（    ）．
A．小于1m   B．大于1m   C．等于1m  D．小于或等于1m

5、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（  ）．
A．h≤17cm             B．h≥8cm                  
C．15cm≤h≤16cm      D．7cm≤h≤16cm

6、如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得树顶端A的仰角为30°，已知侧角仪高DC＝1.4m，BC＝30米，请帮助小明计算出树高AB．（ 取1.732，结果保留三个有效数字）

◆典例分析
如图1，一个梯子AB长2.5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5m，梯子滑动后停在DE的位置上，如图2，测得BD长为0.5m，求梯子顶端A下落了多少米．
  

解法指导：直角三角形中，已知一直角边和斜边是勾股定理的重要应用之一．勾股定理：a2＋b2＝c2的各种变式：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2．应牢固掌握，灵活应用．
分析：先利用勾股定理求出AC与CE的长，则梯子顶端A下落的距离为AE＝AC－CF．
  解：在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2
  ∴2.52＝AC2＋1.52，∴AC＝2（m）．
  在Rt△EDC中，DE2＝CE2＋CD2，∴2.52＝CE2＋22
  ∴CE2＝2.25，∴CE＝1.5（m），
  ∴AE＝AC－CE＝2－1.5＝0.5（m）
  答：梯子顶端A下落了0.5m．
◆课下作业
●拓展提高
1. 小明想测量教学楼的高度．他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了2 ｍ，当他把绳子的下端拉开6 m后，发现绳子下端刚好接触地面，则教学楼的高为（      ）.
  A. 8 m     B. 10 m     C. 12 m     D. 14 m
2.如果梯子的底端离建筑物9 ｍ，那么15 ｍ长的梯子可以到达建筑物的高度是（      ）.
A. 10 m    B. 11 m     C. 12 m     D. 13 m
3. 直角三角形三边的长分别为3、4、ｘ，则ｘ可能取的值有（      ）.
  A. 1个     B. 2 个     C. 3个      D. 无数多个
4、直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7cm2，8 cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为_________ cm2．
5、如图，矩形零件上两孔中心A、B的距离是多少（精确到个位）？

●体验中考
1、（20xx年安徽）长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了                 m．
 
2.（20xx年湖北十堰）如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向，办公楼B位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向，办公楼B正好位于正南方向．求教学楼A与办公楼B之间的距离（结果精确到0．1米）．（供选用的数据： ≈1．414， ≈1．732）         

参考答案
◆随堂检测
1、8π提示：在Rt△ABC中，AB2＝AC2－BC2＝172－152＝82，∴AB＝8．∴S半圆＝ πR2＝ π×（ ）2＝8π．
2、12或7＋   提示：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5或 ，所以直角三角形的周长为3＋4＋5＝12或3＋4＋ ＝7＋ .
3、150a．
4、A提示：移动前后梯子的长度不变，即Rt△AOB和Rt△A′OB′的斜边相等．由勾股定理，得32＋B′O2＝22＋72，B′O＝ ，6＜B′O＜7，则O＜BB′＜1．
5、D提示：筷子在杯中的最大长度为 ＝17cm，最短长度为8cm，则筷子露在杯子外面的长度为24－17≤h≤24－8，即7cm≤h≤16cm.
6、解析：构造直角三角形，利用勾股定理建立方程可求得．过点D作DE⊥AB于点E，则ED＝BC＝30米，EB＝DC＝1.4米．设AE＝x米，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，则AD＝2x．由勾股定理得：AE2＋ED2＝AD2，即x2＋302＝（2x）2，解得x＝10 ≈17.32．∴AB＝AE＋EB≈17.32＋1.4≈18.7（米）．
答：树高AB约为18.7米．
●拓展提高
1.A   解：设教学楼的高为x,根据题意得： ，解方程得：x=8.
2.C  解：设建筑物的高度为x,根据题意得： ，解方程得：x=12.
3.B    斜边可以为4或x,故两个答案。
4.15   根据勾股定理可知：以斜边为边长的正方形的面积是以直角边为边长的两个正方形的面积和。
5．43（提示：做矩形两边的垂线，构造Rt△ABC，利用勾股定理，AB2＝AC2＋BC2＝192＋392＝1882，AB≈43）；
●体验中考
1. ，利用勾股定理即可。
2.94．6.
分析：直角三角形的有关计算、测量问题、勾股定理
解：由题意可知：∠ACP＝ ∠BCP＝ 90°，∠APC＝30°，∠BPC＝45°
在Rt△BPC中，∵∠BCP＝90°，∠BPC＝45°，∴
在Rt△ACP中，∵∠ACP＝90°，∠APC＝30°，∴ 
∴
≈60+20×1．732 ＝94．64≈94．6(米)
答：教学楼A与办公楼B之间的距离大约为94．6米．