小学数学趣题巧算百题百讲百练－－几何部分

   数学网为广大小学生和家长整理的“小学数学趣题巧算百题百讲百练系列”，包括计算、几何、应用题、杂题以及各部分练习题，每部分都有100道精选例题及讲解，以提高广大小学生的综合解题能力。本篇为几何部分。     

   小学生学习几何初步知识，不仅要掌握一些基本的平面图形和立体图形的性质、特征，还要会求这些平面图形的周长、面积及这些立体图形的表面积、体积，而且还要会综合地、巧妙地运用这些知识来进行计算。特别是计算一些组合图形的面积时，常常用到割补、剪拼、平移、翻转等办法，使得计算巧妙、简便。要学会这些方法，应用这些方法。通过解几何题的训练，更好地培养空间想象力，这对学好小学几何初步知识是极有利的，同时也为将来到中学进一步学习几何知识，打下良好而坚实的基础。

　　例21 下图中圆O的面积和长方形OABC的面积相等。已知圆O的周长是9.42厘米，那么长方形OABC的周长是多少厘米？

　　分析与解 题中告诉我们，圆O的面积和长方形OABC的面积相等。我们知道，圆的面积等于π·r·r，而图中圆O的半径恰好是长方形的宽，因此长方形OABC的长正好是π·r，即圆O的周长的一半。而长方形的周长等于2个长与2个宽的和，也就是圆O的周长与直径的和。

　　长方形OABC的周长是：

　　9.42+9.42÷3.14

　　=9.42+3

　　=12.42（厘米）

　　答：长方形OABC的周长是12.42厘米。

　　例22 桌面上有一条长80厘米的线段，另外有直径为1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米、8厘米的圆形纸片若干张，现在用这些纸片将桌上线段盖住，并且使所用纸片圆周长总和最短，问这个周长总和是多少厘米？

　　分析与解 要想盖住桌上线段，并且使所用纸片圆周长总和最短，那么盖住线段的圆形纸片应该是互不重叠，一个挨一个地排开，这时若干个圆形纸片直径的总和正好是80厘米。这些圆形纸片周长的总和与直径为80厘米的圆的周长相等，因此盖住桌子上线段的若干个圆形纸片的周长总和是：

　　3.14×80=251.2（厘米）

　　答：这个周长总和是251.2厘米。

　　例23 图2为三个同心圆形的跑道，跑道宽1米。某人沿每条圆形跑道的中间（虚线所示）各跑了1圈，共3圈。他一共跑了多少米？

　　分析与解 根据题意，要求某人一共跑了多少米，就是求半径分别为1.5米、2.5米和3.5米的三个圆的周长之和。列式为

　　3.14×（1.5×2）+3.14×（2.5×2）+3.14×（3.5×2）

　　＝3.14×3+3.14×5+3.14×7

　　=3.14×（3+5+7）

　　=3.14×15

　　=47.1（米）

　　还可以这样思考：

　　如果这个人拿着一个1米宽的拖把，边跑边拖地，他跑了1个圆圈，就把这一圈的跑道全拖干净。那么他跑了3个圆圈，就把这三条圆形跑道全拖干净了。他共拖了3个环形面积的地。这3个环形面积的总和是

　　3.14×（42-32）+3.14×（32-22）+3.14×（22-12）

　　=3.14×（42-32+32-22+22-12）

　　=3.14×（42-12）

　　=3.14-[（4+1）×（4-1）]

　　=3.14×15

　　=47.1（平方米）

　　当然，也可以直接列式：3.14×（42-12）=47.1（平方米）

　　因为跑道宽1米，这个人拖完47.1平方米，那么他就前进了47.1米。

　　答：一共跑了47.1米。

　　这里列举的只是某人跑了3个圆形跑道。如果将题改为跑100个这样的圆形跑道，那么用后面介绍的解法计算他跑步的总长度，就简捷多了。

　　解法如下：

　　3.14×（1012-12）

　　=3.14×（101+1）×（101-1）

　　=3.14×102×100

　　=32028（平方米）

　　因为跑道宽1米，所以共跑了32028米。

　　例24 在面积是40平方厘米的正方形中，有一个最大的圆（如图3）。这个圆的面积是多少平方厘米？

　　分析与解 要求圆的面积，就要先求出圆的半径。题中告诉我们，正方形的面积是40平方厘米，正方形的边长的一半，也就是图中圆的半径。对小学生来讲，从正方形的面积求正方形的边长，还不会直接计算。

　　可以这样思考：

　　把正方形平均分成4份（如图4）。每个小正方形的面积是40÷4=10平方厘米。小正方形的边长恰好是圆的半径，因此圆的半径的平方恰好是10平方厘米。这样就可以求出圆的面积是3.14×10=31.4平方厘米了。

　　答：图中圆面积是31.4平方厘米。

　　例25 图5由正方形ABCD和长方形EFDG部分重叠而成。正方形的边长是247.8厘米；长方形的长是292.404厘米、宽是210厘米，正方形和长方形哪个面积大？

　　分析与解 要比较正方形ABCD和长方形EFDG面积的大小，方法是分别算出它们的面积再进行比较。从题中给出的数据看，确实给计算带来麻烦。

　　只要在AF两点间连一条线段（如图6），就会发现，三角形 AFD的面积是正方形 ABCD面积的一半，同时也是长方形EFDG面积的一半，所以正方形ABCD和长方形EFDG的面积一样大。这样，也就不用计算这两个图形的面积了。

　　例26 图7由半圆和等腰直角三角形重叠而成。已知等腰直角三角形的直角边长为4厘米，求图中阴影面积。

　　分析与解 如果分别算出两个阴影部分的面积，再把它们加起来，以便求出图中阴影部分的总面积，那就太复杂了。

　　根据题中的条件，我们可以把图中弓形阴影剪下来拼（或旋转）成图8。

　　从图8不难看出，题中要求的阴影部分的面积就是三角形 ABC面积的一半。

　　图中的阴影面积是：

　　（4×4÷2）÷2=4（平方厘米）

　　答：图中阴影面积是4平方厘米。

　　例27 有5个正方形（如图9），边长分别是1米、2米、3米、4米、5米。问图中白色部分面积与阴影部分面积的比是几比几？

　　分析与解 观察已知图形，显然，先计算出白色面积比较简单。

　　白色部分面积是：（22-12）+（42-32）=10（平方米）

　　阴影部分面积是：52-10=15（平方米）

　　因此，白色部分面积与阴影部分面积之比是：10∶15，即2∶3。

　　还可以这样想：作正方形的对角线AD和BC，两条对角线相交于O，于是两条对角线把正方形平均分成四部分（如图10）。

　　要计算整个图形中白色部分面积与阴影部分面积的比，只需计算三角形AOB中白色部分面积与阴影部分面积的比就可以了。在三角形AOB中，可把白色的和阴影的两部分图形都看作是一些梯形，其中把最上端的小阴影三角形看作是上底为O的梯形。这些梯形的高都相等，所以这些梯形面积之比就是这些梯形上、下底的和之比。

　　从小到大，5个梯形面积比是：

　　1∶（1+2）∶（2+3）

　　∶（3+4）∶（4+5）=1∶3∶5∶7∶9

　　因此，图中白色部分面积与阴影部分面积的比是：（3+7）∶（1+5+9）=2∶3

　　答：图中白色部分面积与阴影部分面积比是2∶3。

　　例28 有一个直角梯形ABCD，已知AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形ABF的面积比三角形EFD的面积大17.4平方厘米，那么ED长多少厘米？

　　分析与解 连接DB（图12）。已知三角形ABF比三角形EFD的面积大17.4平方厘米，所以三角形ABD比三角形BED的面积也大17.4平方厘米。

　　三角形BDE的面积是：24-17.4=6.6（平方厘米）。而三角形 BDE的面积等于ED×BC×1/2

　　即ED×6×1/2=6.6

　　所以ED长是2.2厘米。

　　答：ED的长是2.2厘米。

　　例29 图13由4个正六边形拼成，每个正六边形的面积都是6，那么三角形ABC的面积是多少？

　　分析与解 首先连接每个正六边形的对角线，将每个六边形平均分成六个小的正三角形（如图14），那么每一个小三角形的面积都是1。

　　由图14不难看出：三角形ABC是由三角形DEF、三角形AEB、三角形BDC和三角形CFA组成的，其中三角形DEF的面积是4，而其它的三个三角形面积都相等。

　　先看三角形ABE。它正好是平行四边形AGBE的一半，而平行四边形AGBE的面积是6，因此，三角形ABE的面积是3。当然，三角形BDC和三角形CFA的面积也是3。

　　由此得出三角形ABC的面积是

　　4+3×3=13

　　答：三角形ABC的面积是13。

　　例30 已知图15中正方形ABCD的面积是256平方厘米，那么正方形EFGH的面积是多少平方厘米？

　　分析与解 将图15中正方形A0′B′C′D′旋转成图16。由图中不难看出：正方形 A′ B′C′D′的面积是正方形ABCD面积的1/2；正方形EFGH的面积是正方形A′B′C′D′的面积的1/2。因此，正方形

　　已知正方形ABCD的面积是256平方厘米，所以正方形EFGH的面积是

　　答：正方形EFGH的面积是64平方厘米。

　　例31 图17是一个正方形地板砖示意图，在大正方形ABCD中，AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2=DD1=DD2，中间小正方形 EFGH的面积是16平方厘米，四块蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，那么大正方形ABCD的面积是多少平方厘米？

　　分析与解 连AC和BD两条大正方形的对角线，它们相交于O，然后将三角形AOB放在DPC处（如图18和图19）。

　　已知小正方形EFGH的面积是16平方厘米，所以小正方形EFGH的边长是4厘米。

　　又知道四个蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，所以两个蓝色三角形的面积是72÷2=36平方厘米，即图19的正方形OCPD中的小正方形的面积是36平方厘米，那么这个正方形的边长就是6厘米。由此得出，正方形OCPD的边长是4+6=10厘米，当然正方形OCPD的面积就是102，即100平方厘米。而正方形OCPD的面积恰好是正方形ABCD的面积的一半，因此正方形ABCD的面积是200平方厘米。

　　答：正方形ABCD的面积是200平方厘米。

　　例32 一个任意凸六边形ABCDEF，P、Q、M、N分别为AB、BC、DE和EF边上的中点。已知阴影部分的面积是100平方厘米，那么六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？

　　分析与解 连接BF、 BE、 BD，在三角形ABF中，P是AB的中点，那么三角形BPF和三角形APF是等底等高的三角形。因此三角形BPF和三角形APF的面积相等。

　　同理，由于N为EF中点，所以三角形FNB和三角形 ENB的面积相等；由于M为DE中点，所以三角形DMB和三角形EMB的面积相等；由于Q为BC中点，所以三角形BQD和三角形CQD的面积相等。

　　由此得出：三角形BPF+三角形BQD+三角形DMB+三角形FNB=三角形APF+三角形CQD+三角形EMB+三角形ENB。

　　而三角形BPF+三角形BQD+三角形DMB+三角形FNB=阴影面积=100平方厘米，所以三角形APF+三角形CQD+三角形EMB+三角形ENB=空白部分面积=100平方厘米。

　　因此，六边形 ABCDEF的面积为100×2=200平方厘米。

　　答：六边形ABCDEF的面积是200平方厘米。

　　例33 图21是一个圆形钟面，圆周被平均分成了12等份。已知圆形的半径是6厘米，那么图中阴影的面积是多少平方厘米？

　　分析与解 题中告诉我们：圆周被平均分成了12等份，因此连接OE，

　　由图中不难看出：三角形AOB与三角形EOB是等底同高的三角形，这两　

　　的面积相等。

　　于是图中阴影的面积是：

　　答：阴影的面积是18.84平方厘米。例34图 23中四边形ABCD是一个正方形。E、F分别为CD和BC边上的中点。已知正方形ABCD的边长是30厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

　　分析与解 已知四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD边与BC边上的中点，因此，三角形BCE和三角形DCF面积相等。这两个三角形的面积各自减去四边形GFCE的面积，各自剩下的三角形GBF和三角形GDE面积还是相等的。

　　连接GC（如图24），三角形GBF面积和三角形GCF的面积是相等的，因为这两个三角形等底同高。同理，三角形GCE面积和三角形GDE的面积也是相等的。而三角形GBF的面积和三角形GDE的面积相等，因此，三角形GBF、三角形GCF、三角形GCE及三角形GDE是具有相等面积的四个三角形。

　　因为三角形BCE的面积等于正方形ABCD面积的1/4，所以图中空白部分的面积，即三角形GBF、三角形GCF、三角形GCE、三角形GDE的面积之和为正方形ABCD面积的

　　从而得出图中阴影部分的面积为正方形ABCD面积的

　　那么阴影部分的面积是：

　　答：图中阴影部分的面积是600平方厘米。

　　例35 为了美化校园，东升小学用鲜花围成了两个圆形花坛。小圆形花坛的面积是3.14平方米，大圆形花坛的半径是小圆形花坛半径的2倍。大圆形花坛的面积比小圆形花坛的面积大多少平方米？

　　分析与解 我们知道圆的面积与半径的平方成正比。题中告诉我们，大圆的半径是小圆半径的2倍，那么大圆面积是小圆面积的22倍。

　　大圆形花坛的面积比小圆形花坛的面积大

　　3.14×（22-1）

　　=3.14×3

　　=9.42（平方米）

　　答：大圆形花坛的面积比小圆形花坛的面积大9.42平方米。

　　例36 有两个长方形，甲长方形的长是98769厘米，宽是98765厘米；乙长方形的长是98768厘米，宽是98766厘米。这两个长方形的面积哪个大？

　　分析与解 利用长方形面积公式，直接计算出面积的大小，再进行比较，这是可行的，但是计算太复杂了。

　　可以利用乘法分配律，将算式变形，再去比较两个长方形的面积大小，这就简便多了。

　　甲长方形的面积是：

　　98769×98765

　　=98768×98765+98765

　　乙长方形的面积是

　　98768×98766

　　=98768×98765+98768

　　比较98768×98765+98765与98768×98765+98768的大小，一眼便能看出：甲长方形的面积小，乙长方形的面积大。

　　还有如下一种思考解答方法。

　　请先看看下面的事实。

　　周长相等的两个长方形，长与宽的差越大，则面积就越小；反之，长与宽之差越小，则面积就越大。当然，当长方形长与宽之差为0时，也就是为正方形时，面积则最大。

　　假设有两个长方形的周长是20厘米，那么周长的一半，也就是长与宽的和，是10厘米，列举出一部分长、宽的大小与面积的关系，就会得出上面所讲的事实是存在的，并且是正确的。

　　我们再回到原题。甲、乙两个长方形的长与宽的和是相等的（当然它们的周长也相等），即

　　98769+98765=98768+98766

　　而甲长方形长与宽的差是：

　　98769-98765=4（厘米）

　　乙长方形长与宽的差是：

　　98768-98766=2（厘米）

　　因为4厘米＞2厘米，所以甲长方形的面积小，乙长方形的面积大。

　　答：乙长方形的面积大。

　　例37 一个红色的正方形ABCD，它的边长是1993厘米；另一个红色的正方形A′B′C′D′，它的边长是 1994厘米。一个绿色正方形EFGH，它的边长是1992厘米，另一个绿色正方形E′F′G′H′，它的边长是1995厘米。问两个红色的正方形的面积大，还是两个绿色的正方形面积大？

　　分析与解 要比较两个红色的正方形面积大，还是两个绿色的正方形面积大，可以先分别算出它们的面积，然后再进行比较。不过这样计算起来就太复杂了。

　　可以这样比较它们的大小：

　　先将红色正方形ABCD与绿色正方形EFGH重叠在一起（如图26）。

　　从图26不难看出，红色正方形ABCD的面积比绿色正方形EFGH的面积大的平方厘米数是：

　　1×1992+1×1+1×1992=2×1992+1

　　再将红色正方形A′B′C′D′与绿色正方形E′F′G′H′重叠在一起（如图27）。

　　从图27不难看出，红色正方形A′B′C′D′的面积比绿色正方形E′F′G′H′的面积小的平方厘米数是：

　　1×1994+1×1+1×1994

　　=2×1994+1

　　而2×1994+1＞2×1992+1，也就是说绿色正方形E′F′G′H′比红色正方形A′B′C′D′大的面积数超过红色正方形ABCD比绿色正方形EFGH大的面积数。因此两个绿色正方形的面积大。

　　答：两个绿色正方形的面积大。

　　例38 在长方形ABCD中，AE的长度与ED的长度的比是8∶5；BF的长度与FC的长度的比是11∶7。那么涂红色的两块图形的面积与涂蓝色的两块图形的面积相比较，哪个大？

　　分析与解 要比较涂红色的两块图形的面积大，还是涂蓝色的两块图形的面积大，只要比较三角形AEC和三角形BDF的大小就可以了。因为这两个三角形各自减去重叠的那块四边形，剩下的就是两个涂红色的图形和两个涂蓝色的图形了。

　　因为ABCD是长方形，而三角形AEC和三角形BDF的高都是长方形ABCD的宽，所以比较三角形AEC和三角形BDF的大小时，只要比较AE和BF的大小就可以了。

　　根据已知，AE的长度与ED的长度的比是8∶5，那么AE的长度就占

　　即AE＞BF，从而得出三角形AEC的面积大于三角形BDF的面积。

　　因此，涂红色的两块图形的面积大于涂蓝色的两块图形的面积。

　　答：涂红色的两块图形的面积大于涂蓝色的两块图形的面积。

　　例39 一块长方形小麦田，被互相垂直的两条直线分成A、B、C、D四部分。A的地积是45公亩，B的地积是20公亩，C的地积是36公亩。那么，D有多少公亩？

　　分析与解 观察图29不难发现，B与C的长是相等的，因此，B与C地积的比就是它们宽的比。A与D的长也是相等的，因此，A与D地积的比也是它们宽的比。而A与B，C与D的宽分别相等，于是

　　A∶D=B∶C

　　即 45∶D=20∶36

　　D=81

　　答：D有81公亩。

　　例40 有50个表面涂有红漆的正方体，它们的棱长分别是1厘米、3厘米、5厘米、7厘米、9厘米、……、99厘米，将这些正方体锯成棱长为1厘米的小正方体，得到的小正方体中，至少有一个面是红色的小正方体共有多少个？

　　分析与解 棱长为1厘米涂有红漆的小正方体，不用锯，就是棱长1厘米的小正方体，它当然是至少有一个面是红色的小正方体了。

　　将棱长为3厘米的涂有红漆的小正方体，锯成棱长为1厘米的小正方体，共得到33个，其中没有涂红漆的共（3-2）3个。

　　将棱长为5厘米的涂有红漆的小正方体锯成棱长为1厘米的小正方体，共得53个，其中没有涂红漆的共（5-2）3个。

　　将棱长为7厘米的涂有红漆的小正方体锯成棱长为1厘米的小正方体，共得73个，其中没有涂红漆的共（7-2）3个。

　　由以上分析、计算发现，将校长为1厘米、3厘米、5厘米、7厘米的四个正方体锯成棱长为1厘米的小正方体后，得到至少有一个面为红色的小正方体共有

　　13+33-（3-2）3+53-（5-2）3+73-（7-2）3

　　=13+33-13+53-33+73-53

　　=13+33+53+73-13-33-53=73=343（个）

　　按照这样的规律可得，将棱长为1厘米、3厘米、5厘米、7厘米、9厘米、……、99厘米这50个正方体锯成棱长为1厘米的小正方体后，得到至少有一个面为红色的小正方体共有：

　　13+33+53+73+93+……+973+993-13-33-53-73-93-……-973=993=970299（个）

　　答：至少有一个面是红色的小正方体共有970299个。

　　例41 有棱长为 1、2、3、……、99、100、101、102厘米的正方体102个，把它们的表面都涂上红漆，晾干后把这102个正方体都分别截成1立方厘米的小正方体，在这些小正方体中，只有2个面有红漆的共有多少个？

　　分析与解 根据题意，首先应该想到只有2个面有红漆的小正方体，都在原来大正方体的棱上。原来棱长是1厘米、2厘米的正方体，将它截成1立方厘米的小正方体后，得不到只有2个面有红漆的小正方体。棱长是3厘米的正方体，将它截成1立方厘米的小正方体后，大正方体的每条棱上都有1个小正方体只有2个面有红漆。每个正方体有12条棱，因此可得到 12个只有 2个面有红漆的小正方体，即共有（3-2）×12个。

　　棱长为4厘米的正方体，将它截成1立方厘米的小正方体后，得到只有 2个面有红漆的小正方体共（4-2）×12个。

　　依此类推，可得出，将这102个正方体截成1立方厘米小正方体后，共得到只有2个面有红漆的小正方体的个数是：

　　[（3-2）+（4-2）+（5-2）+……+（102-2）]×12

　　=[1+2+3+……+100]×12

　　=60600

　　答：只有2个面有红漆的小正方体共有60600个。

　　例42 有一个长方体木块，长125厘米，宽40厘米，高25厘米。把它锯成若干个体积相等的小正方体，然后再把这些小正方体拼成一个大正方体。这个大正体的表面积是多少平方厘米？

　　分析与解 一般说来，要求正方体的表面积，一定要知道正方体的棱长。题中已知长方体的长、宽、高，同正方体的棱长又没有直接联系，这样就给解答带来了困难。我们应该从整体出发去思考这个问题。

　　按题意，这个长方体木块锯成若干个体积相等的小正方体后，又拼成一个大正方体。这个大正方体的体积和原来长方体的体积是相等的。已知长方体的长、宽、高，就可以求出长方体的体积，这就是拼成的大正方体的体积。进而可以求出正方体的棱长，从而可以求出正方体的表面积了。

　　长方体的体积是

　　125×40×25=125000（立方厘米）

　　将 125000分解质因数：

　　125000=2×2×2×5×5×5×5×5×5

　　=（2×5×5）×（2×5×5）×（2×5×5）

　　可见大正方体的棱长是

　　2×5×5=50（厘米）

　　大正方体的表面积是

　　50×50×6=15000（平方厘米）

　　答：这个大正方体的表面积是15000平方厘米。

　　例43 一个正方体形状的木块，棱长2分米。沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块（如图30）。这60块长方体表面积的和是多少平方分米？

　　分析与解 解答这道题的最直接的想法是将这大大小小的60个长方体形状的小木块的表面积分别计算出来，然后再求出总和，这样做是可以的，但计算极为复杂。因此解答这题时，应从整体出发，这样，问题就简单多了。

　　这个正方体形木块在未锯成60个长方体形状的小木块前，共有6个面，每个面的面积是2×2=4平方分米，6个面共24平方分米。不管后来锯成多少块小长方体，这6个面的24平方分米的面积总是后来的小长方体的表面积的一部分。

　　现在我们来考虑将木块每锯一刀的情况。显然，每锯一刀就会增加2个4平方分米的表面积，根据题意，现在一共锯了2+3+4=9刀，共增加了18个4平方分米的表面积。

　　因此，这60块大大小小的长方体的表面积总和是

　　24+4×18=96（平方分米）

　　或列式为

　　2×2×[6+（2+3+4）×2]

　　=4×[6+18]

　　=4×24

　　=96（平方分米）

　　答：60块长方体表面积的和是96平方分米。

　　例44 一个圆柱体，底面半径是5厘米，这个圆柱体的侧面积是100平方厘米。它的体积是多少立方厘米？

　　分析与解 一般的解法是先求出圆柱体的高和底面积，再求圆柱体的体积。

　　圆柱体的高：

　　圆柱体的底面积：

　　3.14×52=78.5（平方厘米）

　　圆柱体的体积：

　　我们已知学过，用切拼的方法，可以把一个圆柱体切拼成一个与它等体积的近似的长方体（如图31）

　　观察图31不难发现，圆柱体的体

　　积等于侧面积的一半与底面半径的乘积，即

　　用这个式子计算题中圆柱体的体积，就比用一般的方法计算要简便多了。

　　答：圆柱体的体积是250立方厘米。