导数的背景 人教选修1-1

导数的背景 人教选修1-1

   

教学目标　　理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义

教学重点　　瞬时速度、切线的斜率、边际成本

教学难点　　极限思想

教学过程

一、导入新课

1.　瞬时速度

问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？

析：大家知道，自由落体的运动公式是（其中g是重力加速度）.

当时间增量很小时，从3秒到（3＋）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大.　因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.

从3秒到（3＋）秒这段时间内位移的增量：

从而，.

从上式可以看出，越小，越接近29.4米/秒；当无限趋近于0时，无限趋近于29.4米/秒.　此时我们说，当趋向于0时，的极限是29.4.

当趋向于0时，平均速度的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度.

一般地，设物体的运动规律是s＝s（t），则物体在t到（t＋）这段时间内的平均速度为.　如果无限趋近于0时，无限趋近于某个常数a，就说当趋向于0时，的极限为a，这时a就是物体在时刻t的瞬时速度.

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2.　切线的斜率

问题2：P（1,1）是曲线上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.

析：设点Q的横坐标为1＋，则点Q的纵坐标为（1＋）2，点Q对于点P的纵坐标的增量（即函数的增量），

所以，割线PQ的斜率.

由此可知，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，变得越来越小，越来越接近2；当点Q无限接近于点P时，即无限趋近于0时，无限趋近于2.　这表明，割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2的直线.　我们把这条直线叫做曲线在点P处的切线.　由点斜式，这条切线的方程为：.

一般地，已知函数的图象是曲线C，P（），Q（）是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动.　当点Q沿着曲线无限接近点P，即趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.　此时，割线PQ的斜率无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当趋向于0时，割线PQ的斜率的极限为k.

3.　边际成本

问题3：设成本为C，产量为q，成本与产量的函数关系式为，我们来研究当q＝50时，产量变化对成本的影响.在本问题中，成本的增量为：.

产量变化

www.ff70.com 对成本的影响可用：来刻划，越小，越接近300；当无限趋近于0时，无限趋近于300，我们就说当趋向于0时，的极限是300.

我们把的极限300叫做当q＝50时的边际成本.

一般地，设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C＝C（q），当产量为时，产量变化对成本的影响可用增量比刻划.　如果无限趋近于0时，无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本.　它表明当产量为时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）.

二、小结

瞬时速度是平均速度当趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率当趋近于0时的极限；边际成本是平均成本当

www.ff70.com 趋近于0时的极限.

三、练习与作业：

1.　某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s）求它在t＝2s时的速度.

2.　判断曲线在点P（1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.

3.　已知成本C与产量q的函数关系式为，求当产量q＝80时的边际成本.

4.　一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为，求t＝4s时此球在垂直方向的瞬时速度.

5.　判断曲线在（1，）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.

6.　已知成本C与产量q的函数关系为，求当产量q＝30时的边际成本.

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