高中数学 1.3.1 单调性与最大（小）值导学案（1） 新人教A版必修5

§1.3.1 单调性与最大（小）值（1）

学习目标
1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
2. 能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性；
3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

学习过程
一、课前准备
（预 习教 材P27~ P29，找出疑惑之处）
引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？

复习1：观察下列各个函数的图象.

探讨下列变化 规律：
① 随x的增大，y的值有什么变化？
② 能否看出函数的最大、最小值？
③ 函数图象是否具有某种对称性？

复习2：画出函数 、 的图象.

小结：描点法的步骤为：列表→描点→连线.

二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：单调性相关概念
思考：根据 、 的图象进行讨论：随x的增大，函数值怎样变化？当x >x 时，f(x )与f(x )的大小关系怎样？

问题：一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？

新知：设函数y=f (x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 <x2时，都有f( x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）.

试试：仿照增函数的定义说出减函数的定义.

新知：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有 （严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间.

反思：
① 图象如何表示单调增、单调减？
② 所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？
③ 函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .

试试：如图， 定义在[-5,5]上的f(x)，根据图象说出单调区间及单调性.
 

※ 典型例题
例1 根据下列函数的图象，指出它们的单调区间及单调性，并运用定义进行证明.
（1） ； （2） .

变式：指出 、 的单调性.
例2 物理学中的玻意耳定律 （k为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明.

小结：
① 比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号；
② 证明函数单调性的步骤：
第一步：设x 、x ∈给定区间 ，且x <x ；
第二步：计算f(x )－f(x )至最简；
第三步：判断差的符号；
第四步：下结论.

※ 动手试试
练1.求证 的(0,1)上是减函数，在 是增函数.

练2. 指出下列函数的单调区间及单调性.
（1） ； （2） .

三、总结提升
※ 学习小结
1. 增函数、减函数、单调区间的定义；
2. 判断函数单调性的方法（图象法、定义法）.
3. 证明函数单调性的步骤：取值→作差→变形→ 定号→下结论.

※ 知识拓展
函数 的增区间有 、 ，减区间有 、 .
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分 ：10分）计分：
1. 函数 的单调增区间是（ ）
A. B. C. R D.不存在
2. 如果函数 在R上单调递减，则（ ）
A. B. C. D.
3. 在 区间 上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4. 函数 的单调性是 .
5. 函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
课后作业
1. 讨论 的单调性并证明.

2. 讨论 的单调性并证明.