高中数学《1.1.3 正弦定理和余弦定理》教案 新人教A版必修5

课题：1.1.3 正弦定理和余弦定理

高二数学 教•学案
主备人： 执教者：
【学习目标】
1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
2.通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
【学习重点】在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
【学习难点】正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用
【授课类型】新授课
【教 具】课件、电子白板
【学习方法】
【学习过程】
一、引入：
思考：在 ABC中，已知 ， ， ，解三角形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
二、特例示范：
例1．在 ABC中，已知 ，讨论三角形解的情况
分析：先由 可进一步求出B；
则
从而
1．当A为钝角或直角时，必须 才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果 ≥ ，那么只有一解；
如果 ，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若 ，则有两解；
（2）若 ，则只有一解；
（3）若 ，则无解。
（以上解答过程详见课本第9 10页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
例2．在 ABC中，已知 ， ， ，判断 ABC的类型。
分析：由余弦定理可知

（注意： ）
解： ，即 ，
∴ 。
例3．在 ABC中， ， ，面积为 ，求 的值
分析：可利用三角形面积定理 以及正弦定理

解：由 得 ，
则 =3，即 ，
从而

四、当堂练习：
（1）在 ABC中，已知 ， ， ，试判断此三角形的解的情况。
（2）在 ABC中，若 ， ， ，则符合题意的b的值有_____个。
（3）在 ABC中， ， ， ，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3） ）
（1）在 ABC中，已知 ，判断 ABC的类型。
（2）已知 ABC满足条件 ，判断 ABC的类型。
（答案：（1） ；（2） ABC是等腰或直角三角形）
（1）在 ABC中，若 ， ，且此三角形的面积 ，求角C
（2）在 ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积 ，求角C
（答案：（1） 或 ；（2） ）
五、本节小结：
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用
六、作业布置:学案1.1.3 个性设计