双曲线中的面积问题

双曲线中的面积问题 学习反比例函数时，我们经常遇到一些求解与其函数图象双曲线有关的面积问题。要解决好这些问题，应注意以下几个方面的基础知识： 设反比例函数式为y=。 ⑴由双曲线上一点向两条坐标轴做垂线段，由这两条垂线段与两坐标州围成的矩形的面积计算。（如图1，以第一象限的图象为例） 　　　　　　　　　　　　　　　　　 由四边形PMON为矩形。设P点坐标为（m，n），P在y=图象上，则有mn=k。∵OM=，ON= ∴S_{四边形OMPN}=OM·ON=·== ⑵由双曲线上一点向其中一条坐标轴的作垂线段，并连接这一点与原点的线段，由这两条线段与坐标轴围成的三角形的面积的计算。（如图2，仍以第一象限的图象为例） 　　　　　　　　　　　　　　　　 由图象可知，S_△POM=S_△PON= S_{四边形OMPN}=。 ⑶理解点的坐标的几何意义：点P的坐标为（m，n），则表示P到y轴的距离；表示P到x轴的距离。 ⑷用好双曲线的对称性：双曲线关于原点O对称，因此双曲线y=与过原点O的正比例函数y=k₂x的交点关于原点O对称。 ⑸会利用反比例函数关系式y=设双曲线上点的坐标。如点P在双曲线y=的图象上，设P点的横坐标为m，则P点的坐标可表示为（m，）

www.ff70.com ⑹会用割补法求面积。尤其要注意有时需先利用坐标轴构造出特殊图形（如矩形、梯形、直角三角形等）。   一、用好双曲线的对称性   例1　若函数y=kx（k＞0）与函数y=的图象相交于A、C两点，AB⊥x轴于B。则△ABC的面积为（   ）。 　　　　　　　　　　　　　　　　 A。1     B。2      C。3       D。4 解：由A在双曲线y=上，AB⊥x轴于B。 ∴S_△ABO=×1= 又由A、B关于O对称，S_△CBO= S_△ABO=  ∴S_△ABC= S_△CBO+S_△ABO=1    故选（A）   二、正确理解点的坐标的几何意义   例2　如图，反比例函数y=－与一次函数y=－x+2的图象交于A、B两点，交x轴于点M，交y轴于点N，则S_△AOB=         。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解：由y=－x+2交x轴于点M，交y轴于点N M点坐标为（2，0），N点坐标为（0，2） ∴OM=2，ON=2 由   解得或 ∴A点坐标为（－2，4），B点坐标为（4，－2） S_△AOB=S_△AON+S_△MON+S_△BOM      =ON·+OM·ON+OM·=6

www.ff70.com （或S_△AOB=S_△AOM+S_△BOM=OM·+OM·=6）   　　三、注意分类讨论   例3　如图，正方形OABC的面积为9，点O是坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上。点P（m、n）是函数函数y=上任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线。垂足分别为E、F，并设矩形OEPF中和正方形OABC不重合部分的面积为S。 ⑴求点B的坐标和k值。 ⑵当S=时，求P点的坐标。 解：⑴设B点坐标为（x₀，y₀），B在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，∴S_{正方形OABC}= x₀y₀=9，∴x₀=y₀=3 即点B坐标为（3，3），k= x₀y₀=9 ⑵①当P在B点的下方（m＞3）时。 设AB与PF交于点H，∵点P（m、n）是函数函数y=上， ∴S_{四边形CEPF}=mn=9，S_矩形OAHF=3n ∴S=9－3n=，解得n=。当n=时，=，即m=6 ∴P点的坐标为（6，） ②当P在B点的上方（m＜3）时。 同理可解得：P₁点的坐标为（，6）

www.ff70.com ∴当S=时，P点的坐标为（6，）或（，6）。   四、善用“割补法”   例4　如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=k₁x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A（1，4），B（3，m）两点。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑴求一次函数解析式；⑵求△AOB的面积。 解：⑴由A（1，4），在y=的图象上，∴k₂=xy=4 B（3，m）在y=的图象上，∴B点坐标为（3，） A（1，4）、B（3，）在一次函数y=k₁x+b的图象上， 可求得一次函数解析式为：y=－x+。 ⑵设一次函数y=－x+交x轴于M，交y轴于N（如图）。则M（4，0），N（0，） S△AOB=S△MON－S△OBM－S△AON=OM·ON—OM－ON

www.ff70.com        =×4×－×4×－××1=   五、构造特殊辅助图形   例5　如图，已知直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A、B两点，且点A横坐标为4。⑴求k的值；⑵若双曲线y=（k＞0）上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积。⑶过原点O的另一条直线交双曲线y=（k＞0）于P、Q两点（P点在第一象限），若由点ABPQ为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解：⑴A横坐标为4，在直线y=x上，A点坐标为（4，2） A（4，2）又在y=上，∴k=4×2=8 ⑵C的纵坐标为8，在双曲线y=上，C点坐标为（1，8） 过A、C分别作x轴、y轴垂线，垂足为M、N，且相交于D，则得矩形ONDM。S_矩形ONDM=4×8=32。 又S_△ONC=4，S_△CDA=9，S_△OAM=4 ∴S_△AOC= S_矩形ONDM―S_△ONC―S_△CDA―S_△OAM=32―4―9―4=15 ⑶由反比例函数图象是中心对称图形，OP=OQ，OA=OB， ∴四边形APBQ是平行四边形。S_△POA=S_{四边形APBQ}=6

www.ff70.com 设P点的坐标为（m，），过P、A分别作x轴、y轴垂线，垂足为E、M。 ∴S_△POE=S_△AOM=k=4 ①若0＜m＜4时，如图所示。 ∵S_△PEO+S_梯形PEMA=S_△POA+S_△AOM，∴S_梯形PEMA=S_△POA=6 ∴（2+）（4－m）=6   解得m=2或m=－8（舍去）  P点的坐标为（2，4） ②若m＞4时，同理可求得m=8或m=－2（舍去），P点的坐标为（8，1）

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